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J'ai horreur de ce genre de problème.... c'est trop prenant.
En prenant la notation j x (A0 A1 A2 .. An) = An An-1 .... A0

En faisant la... preuve par 9 (!) on n'arrive à écarter des valeurs de J
1) -si S = A0+A1+... An (la somme des "digits") n'est pas multiple de 9 alors on peut prouver facilement que j ne peut être égal à 2,3,5,6,8..
la démonstration : comme j x (A0 A1 A2 .. An) = An An-1 .... A0 alors la preuve par 9 s'écrit j x S = S modulo 9 soit (j-1)x S =0 modulo 9
Comme S n'est pas multiple de 9 (S peut prendre les valeurs de 1, 2,3,4,5,6,7,8 modulo 9).. par exemple pour j=2, on doit vérifier (j-1)X S = 1 X S = 0 modulo 9 .. ce n'est pas possible. Donc j=2 impossible.
Idem pour j = 3 on doit vérifier (3-1)x S =0 modulo 9 soit 2xS = 0 modulo 9 ce qui est impossible
On fait pareille pour j=5,6,8

2) -Pour j=7 la méthode ci-dessus ne permet pas de conclure car en prenant S = 3 par exemple (j-1)x S = (7-1) * 3 = 18 = 0 modulo 9 l'équation modulo 9 est bien vérifiée
il faut utiliser une autre méthode pour écarter 7 :
revenons à l'équation initiale on cherche A0 ... An vérifiant 7 x (A0...... An) = An....A0.
Or on est obligé d'avoir 7 x A0 <10 (car si non on aurait un Digit de plus) .. ceci entraine que A0=1
Or si A0 = 1 on a aussi 7 X An = Y A0 = Y 1 (le dernier chiffre est un 1). On a obligatoirement donc An = 3.
Or AN=3 est impossible car on doit avoir An > 7xA0 soit 3 > 7 ce qui est faux (ouf !)

3) -Reste J=4.. la méthode de la preuve par 9 n'écarte pas J=4 : (4-1)x S =0 modulo 9.. or pour S= 3 on vérifie l'égalité.
Et dans les faits on a bien une solution pour 4 x 21 978 = 87 912.

4) -S'agissant de 9 la méthode preuve par 9 oblige (j-1) x S = 0 modulo 9 soit 8 x S = 0 modulo 9 ... ce qui n'est possible que si S = 0 modulo 9
on a un exemple qui l'illustre : 9 x 1089 = 9801 on a bien S = 9+8+0+1 modulo 9 = 0
A noter une propriété amusante (reprendre le même raisonnement que pour le 2) les solutions sont de la forme 9 x (1 A2 A3 An-1 9) = 9 An-1...A2 1

PS pour le cas général S=0 modulo 9 je n'ai pas de démonstration ! Il y a probablement une démonstration plus complète et plus simple que celle là.

Bonsoir

Bien vu le coup de la preuve par 9 et merci de cette explication

Sans vouloir jouer les troubles fait

smart et trams ne sont pas des palindromes..

Texte dont la succession des lettres ou des chiffres est la même quand on le parcourt de gauche à droite ou de droite à gauche.
Un palindrome peut être un seul mot, comme « ressasser », une courte phrase, comme « engage le jeu que je le gagne » ; ou un texte plus long.

vil1driver a écrit :Sans vouloir jouer les troubles fait

smart et trams ne sont pas des palindromes..

Texte dont la succession des lettres ou des chiffres est la même quand on le parcourt de gauche à droite ou de droite à gauche.
Un palindrome peut être un seul mot, comme « ressasser », une courte phrase, comme « engage le jeu que je le gagne » ; ou un texte plus long.

Ah bon mais pourquoi, il me semble que si j'en lis un à l'envers ça me donne l'autre non?