En prenant la notation j x (A0 A1 A2 .. An) = An An-1 .... A0
En faisant la... preuve par 9 (!) on n'arrive à écarter des valeurs de J
1) -si S = A0+A1+... An (la somme des "digits") n'est pas multiple de 9 alors on peut prouver facilement que j ne peut être égal à 2,3,5,6,8..
la démonstration : comme j x (A0 A1 A2 .. An) = An An-1 .... A0 alors la preuve par 9 s'écrit j x S = S modulo 9 soit (j-1)x S =0 modulo 9
Comme S n'est pas multiple de 9 (S peut prendre les valeurs de 1, 2,3,4,5,6,7,8 modulo 9).. par exemple pour j=2, on doit vérifier (j-1)X S = 1 X S = 0 modulo 9 .. ce n'est pas possible. Donc j=2 impossible.
Idem pour j = 3 on doit vérifier (3-1)x S =0 modulo 9 soit 2xS = 0 modulo 9 ce qui est impossible
On fait pareille pour j=5,6,8
2) -Pour j=7 la méthode ci-dessus ne permet pas de conclure car en prenant S = 3 par exemple (j-1)x S = (7-1) * 3 = 18 = 0 modulo 9 l'équation modulo 9 est bien vérifiée
il faut utiliser une autre méthode pour écarter 7 :
revenons à l'équation initiale on cherche A0 ... An vérifiant 7 x (A0...... An) = An....A0.
Or on est obligé d'avoir 7 x A0 <10 (car si non on aurait un Digit de plus) .. ceci entraine que A0=1
Or si A0 = 1 on a aussi 7 X An = Y A0 = Y 1 (le dernier chiffre est un 1). On a obligatoirement donc An = 3.
Or AN=3 est impossible car on doit avoir An > 7xA0 soit 3 > 7 ce qui est faux (ouf !)
3) -Reste J=4.. la méthode de la preuve par 9 n'écarte pas J=4 : (4-1)x S =0 modulo 9.. or pour S= 3 on vérifie l'égalité.
Et dans les faits on a bien une solution pour 4 x 21 978 = 87 912.
4) -S'agissant de 9 la méthode preuve par 9 oblige (j-1) x S = 0 modulo 9 soit 8 x S = 0 modulo 9 ... ce qui n'est possible que si S = 0 modulo 9
on a un exemple qui l'illustre : 9 x 1089 = 9801 on a bien S = 9+8+0+1 modulo 9 = 0
A noter une propriété amusante (reprendre le même raisonnement que pour le 2) les solutions sont de la forme 9 x (1 A2 A3 An-1 9) = 9 An-1...A2 1
PS pour le cas général S=0 modulo 9 je n'ai pas de démonstration ! Il y a probablement une démonstration plus complète et plus simple que celle là.